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线性代数笔记权威发布_线性代数笔记总结(2024年12月精准访谈)

内容来源：夯出奇迹所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

线性代数笔记

线性代数笔记：Jordan分解与线性变换 𐟓笔记整理：矩阵的基本性质矩阵的转置：A^T = (A^T)^T 矩阵的逆：如果A可逆，则存在B使得AB = BA = I，称A为可逆矩阵矩阵的秩：秩是矩阵行或列的最大线性无关组的元素个数矩阵的行列式：det(A) = 0当且仅当A不可逆矩阵的迹：tr(A) = ∑a_ii，即对角线元素之和矩阵的逆可逆矩阵的条件：A可逆当且仅当A的行列式不为0 求逆矩阵的方法：通过初等行变换将A变为单位矩阵，同时记录变换矩阵B，则B是A的逆矩阵线性方程组齐次线性方程组：Ax = 0有解当且仅当r(A) < n 非齐次线性方程组：Ax = b有解当且仅当r(A) = r(A|b) 线性相关与线性无关线性相关：向量组中存在不全为0的数使得线性组合为0 线性无关：向量组中不存在不全为0的数使得线性组合为0 向量的内积与正交内积：aⷢ = |a||b|cos正交：aⷢ = 0当且仅当a与b正交正交基：由正交向量组成的向量组称为正交基施密特正交化方法：将一组线性无关的向量正交化正定矩阵与特征值正定矩阵：A为正定矩阵当且仅当A的特征值全大于0 特征值与特征向量：Ax = ，𘺁的特征值，x为对应的特征向量相似矩阵与对角化相似矩阵：A~B当且仅当存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1 对角化条件：A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量 Jordan分解与若当型矩阵 Jordan分解：任意矩阵A都可以相似于一个Jordan块组成的矩阵J 若当型矩阵：J的每个Jordan块称为若当块，J称为若当型矩阵实对称矩阵的对角化实对称矩阵：A为实对称矩阵当且仅当A的特征值为实数实对称矩阵的对角化：A相似于对角阵，且正交相似于双对角阵二次型与慢性指数二次型：f(x) = xTAx，其中A为实对称矩阵慢性定理：任何实二次型都可以通过线性替换化为标准形，且标准形唯一。慢性指数p称为正惯性指数。正定二次型与正定矩阵正定二次型：f(x) > 0对于所有非零x成立，A为正定矩阵。正定条件：A的特征值全大于0，正惯性指数为n。合同与线性替换合同变换：X = CY，其中C可逆，则称为可通线性替换。合同条件：若AB合同，则存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1。

线性代数笔记：初等变换与矩阵运算 𐟓… 每日一题：期末复习小贴士 𐟓 笔记整理：初等变换的奥秘 𐟔 对矩阵A进行一次初等变换，相当于用一个初等矩阵左乘A。 𐟔„ 对矩阵A进行多次初等变换，相当于用多个初等矩阵连续左乘A。 𐟓ˆ 矩阵A经过初等变换后，变成矩阵B，即A = B。 𐟓‰ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果相同，即AC = BA。 𐟔„ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果还是B，即EK = A。 𐟔„ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果还是A，即AA = B。 𐟔„ 矩阵A与B经过相同的初等变换，结果还是B，即tKB = Aj(k)。 𐟓Œ 方阵的行列式： 𐟔 方阵A的行列式为0，则A不可逆。 𐟔 方阵A的行列式不为0，则A可逆。 𐟓Œ 矩阵的分解： 𐟔 方阵A可以分解为若干个初等矩阵的乘积。 𐟔 存在方阵B，使得AB = E。 𐟓Œ 齐次线性方程组： 𐟔 齐次线性方程组Ax = 0有解。 𐟔 非齐次线性方程组AX = B有解。 𐟓Œ 可逆矩阵的条件： 𐟔 当且仅当矩阵A的行列式不为0时，A可逆。 𐟔 当且仅当矩阵A的秩为n时，A可逆。

专转本高数备考攻略：从基础到刷题全解析大家好，我是2023年专转本高数考试的考生，今年虽然没能拿到满分，但140分的成绩我还是挺满意的。今年的高数题目确实有点难，题目量大，和往年相比差距明显，容易拉开分数差距。不过，高数虽然难，只要我们合理规划，拿出足够的时间去学习，完全有机会拿下它。第一阶段：打好基础 𐟓– 首先，观看高数视频是必不可少的。根据视频内容，记录一本自己的高数笔记。这个过程可能会有点枯燥，但基础打牢了，后面的学习会轻松很多。第二阶段：深入线代 𐟧Ž夸‹来，开始学习线性代数，并记录线代笔记。同时，可以开始刷绿皮书或者其他高数练习题。这个阶段主要是为了巩固基础，熟悉各种题型。第三阶段：刷题阶段 𐟓 当线代的第一步学习和高数的二轮复习结束后，虽然线性代数可能还没完全搞懂，但高数大致已经掌握了。这时候，可以开始刷试卷了！刷再多的专项练习都没有试卷更能促进我们对高数的掌握。我考前三四个月的时候，每天保证做一张试卷，到后面临近考试每天两张试卷。电子版的、纸质的以及各种机构的高数试卷，大概刷了250套左右。这样下来，高数的每个知识点都记得很牢了，而且大部分题型都遇到过。每刷一套卷子就是重新复习一遍高数，写高数试卷的速度也大大提升，不用再翻看笔记或者公式，就可以在保证质量的同时大大缩短了写试卷的时间。总结 𐟓 把高数笔记记好，第一遍学习的知识点记清楚，例题也抄下来。多刷专项训练，把每种题型都练习一遍。每天不间断的刷高数试卷，真题试卷，并且不断提高自己做题速度。希望这些经验对大家有帮助！高数虽然难，但只要我们合理规划，付出努力，一定能够取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

线性代数笔记：矩阵与线性方程组 ### 矩阵与线性方程组 𐟓– 线性方程组 𐟧𚿦€禖𙧨‹组是数学中一个非常重要的概念，主要研究的是多个未知数之间的关系。比如说，我们有这样一个方程组： ```scss 2x + 3y = 4 x + y = 1 ``` 这个方程组有两组解，一组是相容解，另一组是不相容解。相容解就是有解的情况，而不相容解则是无解的情况。例如，在这个例子中，相容解是 `(x=1, y=1)`，而不相容解则是 `(x=2, y=0)`。矩阵的概念 𐟓Š 矩阵其实就是一组有序的数表，用来说明线性方程组的关系。比如说，上面的方程组可以写成矩阵的形式： ```scss A = [2 3; 1 1] B = [4; 1] ``` 这里的A就是系数矩阵，B是常数矩阵。通过矩阵的形式，我们可以更方便地进行各种计算和变换。矩阵的初等变换 𐟔„ 矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念。主要有三种变换方式：行交换：交换两行的位置。数乘：将某一行乘以一个非零常数。数加：将某一行加上另一行的倍数。这些变换不会改变矩阵的解，但可以让我们更方便地进行计算。比如说，上面的方程组可以通过初等变换转化为行阶梯形矩阵，然后再转化为行最简形矩阵，从而更容易求解。矩阵的加法和数乘 𐟓ˆ 矩阵的加法和数乘也是线性代数中的基本运算。两个矩阵相加就是对应位置的元素相加，而数乘则是将矩阵的每一行都乘以一个常数。这些运算在求解线性方程组和进行矩阵变换时非常有用。线性变换和旋转变换 𐟌€ 线性变换和旋转变换是矩阵与线性方程组的几何意义。线性变换可以通过矩阵的形式来表示，而旋转变换则是通过旋转矩阵来实现的。比如说，一个以原点为中心的逆时针旋转p角的旋转变换可以用以下矩阵来表示： ```scss R = [cos p -sin p; sin p cos p] ``` 这个矩阵可以将一个向量旋转p角，从而在几何上实现旋转变换。总结 𐟓 线性代数是一个非常有趣和实用的数学领域，通过矩阵和线性方程组的结合，我们可以解决很多实际问题。希望这篇笔记能帮助你更好地理解线性代数的基本概念和原理。

𐟓š线性代数笔记大揭秘𐟔 𐟓–探索线性代数的奥秘，从行列式到矩阵运算，一网打尽！𐟒ꊊ𐟔⠩斥…ˆ，我们来聊聊行列式。你知道吗？行列式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决一系列线性方程组的问题。𐟧 𐟒ᠨጥˆ—式的计算并不复杂，只要掌握一些基本的计算规则，就能轻松应对。比如，我们可以利用对角线法则、拉普拉斯展开等技巧来计算行列式。𐟖‹️ 𐟔⠦Ž夸‹来，我们进入矩阵的世界。矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它可以帮助我们更方便地处理线性方程组的问题。𐟤” 𐟒ᠧŸ驘𕧚„运算包括加法、减法、乘法等，这些运算都有严格的数学规则。比如，我们可以利用矩阵的加法法则、乘法法则等来计算矩阵的结果。𐟧𐟔⠦œ€后，我们来看看行列式与矩阵之间的关系。其实，行列式和矩阵是密不可分的。在某些情况下，我们可以利用行列式来求解矩阵的逆、行列式的值等问题。𐟤 𐟒ᠦ€𛧚„来说，线性代数是一个充满挑战和乐趣的学科。只要你掌握了行列式和矩阵的基本概念和运算规则，就能轻松应对各种复杂的问题。加油哦！𐟌Ÿ

线性代数必考大题，你准备好了吗？𐟓š 自从大纲改版后，线性代数的大题重点都集中在后两章——特征值与特征向量及二次型。我个人觉得，二次型考的概率特别大！因为它涉及的内容非常全面，几乎涵盖了整个线性代数的知识体系。做一道二次型的题目，你不可避免地会用到行列式、矩阵的运算，甚至还需要特征值和特征向量的知识。不过，二次型的题型相对固定，不像高数那样灵活。基本的解题流程也比较固定，我在笔记中有详细的讲解和例题分析。简单来说，就是把二次型化为标准形或规范形，确定坐标变换，判断正定性等等。具体步骤包括：求二次型矩阵的特征值和特征向量——构造正交矩阵（或可逆矩阵）——最终写成x=cy的形式，并写出标准形。所以，大家一定要重视二次型的学习，掌握好这些基本步骤和技巧，才能在考试中游刃有余！𐟒ꀀ

𐟓š线代行列式复习笔记总结𐟓 𐟓… Date: [待填写] 𐟔 行列式的基础知识行列式是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。行列式的计算方法多种多样，包括按行或按列展开、拉普拉斯定理等。 𐟓š 行列式的展开按多行（列）展开：选择某一行（列），计算交叉位置的元素乘积。拉普拉斯定理：对阶行到式，取定K行，由此行组成的一切阶式与其代数余子式的乘积和。 𐟔砨ጥˆ—式的简化简化定理：通过特定的行列变换，将行列式转化为易于计算的形式。拉普拉斯定理的特殊运用：当主对角线元素为0时，行列式可以通过特定的计算方法简化。 𐟓 行列式的性质行列式的值与矩阵的转置有关。行列式的值与矩阵的行列变换、行列互换有关。 𐟔 行列式的应用行列式在解线性方程组、矩阵的逆运算中有着广泛的应用。行列式的计算方法和技巧对于解决复杂的数学和工程问题至关重要。 𐟓… 复习计划持续更新线代笔记，涵盖行列式的各种计算方法和应用。欢迎大家讨论和交流，共同进步！

考研数学线代暑期复习全攻略，轻松拿高分！ 𐟓š 总结内容来源：李永乐的线性代数强化课+李永乐的辅导讲义+我自己后期做题总结 𐟌Ÿ 优势：这套总结几乎涵盖了李永乐强化课的全部内容，可以帮助大家节省做笔记和总结的时间。在复习后期，它还可以作为知识点查询手册，非常实用！ 𐟓 食用方法： 1⃣️ 一边看强化课，一边补充我做的总结笔记。用iPad复习的朋友可以下载我的笔记，导入notability等笔记软件进行补充；喜欢纸质复习的朋友可以抄写一遍我的笔记，加深记忆。 2⃣️ 看完强化课后，重新做一遍讲义上的题目。注意一定要遮住答案自己做一遍！我们做题不是看题！⚠️这一步的目标是完全消化李永乐辅导讲义和强化课的内容！ 3⃣️ 完成辅导讲义每一章后面的习题。 4⃣️ 看完强化课和辅导讲义后，开始刷习题册（建议刷880基础篇）。 𐟌ž 暑期线性代数复习建议：李永乐的线性代数强化课真的是YYDS！市面上没有比李爷爷更权威的老师了！没有比李爷爷线代强化课更权威的课程了！ ⚠️ 还未开始线代复习的朋友们：建议直接上李永乐线性代数强化课，按照上面的步骤在七月份走完一遍全部内容，再刷习题册（推荐刷880基础部分）。 ⚠️ 已经准备开始线性代数强化的朋友们：一定要跟着李永乐老师学习！基础复习+李永乐强化班+李永乐辅导讲义+880基础篇+一定的总结，暑期线性代数的复习足矣！

初中数学与高中数学的那些事儿 𐟓š 昨天关于小学提前学初中的笔记收到了不少反馈，有初中的家长想让我分享一下高中数学的学习经验。今天我就来简单聊聊这个话题。初中数学基本上是小学数学的延续，初步形成了一个体系。而高中数学则主要是为大学高等数学、线性代数等课程做预备。高中数学的内容包括集合论、函数论、不等式、三角函数、向量代数、算法、数理逻辑、立体几何、解析几何、微积分、统计与概率、复数的基础部分。提前学高中数学有两种方式：按照教材顺序学，或者将高中数学知识按照一定的模块组织起来。大致可以分为以下几个模块：模块一：集合、不等式、函数、三角函数、导数、数列。这一系列内容以函数为核心展开。模块二：平面向量、立体几何、空间向量。模块三：直线和圆的方程、圆锥曲线。模块四：概率、统计。按照这个顺序学，最核心的是模块一的内容，也是整个高中数学最难的部分。能不能学好高中数学，关键在于能否掌握好模块一中的函数。函数学好了，整个高中数学差不多就稳了。我整理了一份21天学完高中数学的大纲，虽然不可能21天学透彻，但夯实基础是没问题的。最后，分享一下我的建议：学习高中数学的前提是你初中数学基本没有问题。通俗的标准是，做中考卷能做到115分（满分120分）以上，压轴题不要求100%会做，但至少大部分可以有思路或者做出来；或者已经和高中签约，不用担心中考；或者成绩均衡稳定，本地重点高中录取没有问题。不要抱有提前学高中数学能反哺初中的念头。如果有这种想法，就说明你现在无法依靠初中的学习解决中考。学了高中数学的某些章节后，再看初中试卷会有新的思路，这毋庸置疑。但如果把这个当成主要目标，就难免本末倒置了。高打低是额外收获，不是主要目的。如果一定要抱着这个目标，那么就意味着教材顺序、模块顺序可能都要打乱了。希望这些经验能对大家有所帮助！

考研数学笔记：数学一、数学二的心得分享大家好，今天我想和大家分享一下我考研数学的学习笔记和一些心得。希望对正在备考的小伙伴们有所帮助。首先，我考的是数学一，总分120分。虽然我刷的题不多，但也有一些自己的小窍门。基础题880我没怎么刷，660倒是全做了，330的线代和概率论部分也做了一些。平时在小破站上看了很多每日一练的视频，尤其是线性代数部分，收获颇丰。冲刺阶段主要做了李林四套卷和李永乐的选择题，没做太多其他模拟卷。数学一有些老师讲的知识点需要记公式，但可能没告诉你原理，这样记起来会很累。我在小破站上看了很多视频，学到了很多技巧，比如雅可比因子的妙用可以很好地解决一些问题，各种变换在概率论部分也用得很好。所有这些总结都在我的笔记里，有需要的可以来试一下。如果有什么不懂的地方，我会尽量讲解，也可以推荐一些小破站上的视频。希望大家都能在考研路上顺利上岸！𐟒ꊊ#数学笔记 #数学 #研究生录取通知书 #数学一 #考研数学二 #考研数学 #小破站up主推荐 #数学 #數學 #逻辑思维

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